von Peter Ullrich

Richard Dagobert Brauer und Alfred Theodor Brauer waren nicht nur Brüder, sondern ihre Lebensläufe weisen auch mehrfache Ähnlichkeiten auf: Geboren in Charlottenburg (heute: Berlin-Charlottenburg), studierten beide in den 1920er Jahren Mathematik an der Friedrich-Wilhelms-Universität zu Berlin und promovierten dort bei Issai Schur (1875-1941). Infolge der nationalsozialistischen Rassengesetze verloren beide aufgrund ihrer jüdischen Herkunft ihre jeweilige Anstellung als Assistent, und ihnen wurde die zwischenzeitlich erworbene Habilitation aberkannt. Daher sahen sich beide gezwungen, in den 1930er Jahren nach Nordamerika zu emigrieren, wo sie in eindrucksvoller Weise in der universitären Welt Fuß fassten.

Trotz dieser Ähnlichkeiten weisen die Lebenswege der beiden Brüder doch auch so viele Unterschiede auf, dass der Versuch einer Doppelbiographie nicht zielführend erscheint. Daher sollen hier nur Leben und Werk von Richard Brauer behandelt werden. Eine getrennte Darstellung für Alfred Brauer (1894-1985), den wohlgemerkt älteren der beiden Brüder, soll bei nächster Gelegenheit nachfolgen.

Der Vater der beiden Brüder, Mathis (Max) Brauer (1856-1917), stammte ursprünglich aus Gleiwitz (Schlesien, heute: Gliwice, Polen). Er war in Charlottenburg als Großhandelskaufmann für Lederwaren tätig und fungierte ehrenamtlich als Handelsrichter. Seine Frau Caroline (Lilly), geborene Jacob, (1870-1942) hingegen stammte aus einer Berliner Familie. Zwischen den Söhnen Alfred (geboren am 9. April 1894) und Richard (geboren am 10. Februar 1901) kam die Tochter Alice Theresa (1896-1943) zur Welt.

Die Familie war jüdischer Konfession. Die Mutter starb zwar 1942 noch in der Familienwohnung in Berlin, die Schwester und ihr Mann Ernst Brauer (1885-1943) hingegen wurden Anfang 1943 im Konzentrationslager Auschwitz ermordet.

Richard Brauer besuchte seit Ostern 1907 die Kaiser-Friedrich-Schule in Charlottenburg, die über einen gymnasialen Zweig verfügte. Er erhielt dort am 13. September 1918 das (Not-)Abitur. Direkt danach wurde er zum zivilen Hilfsdienst für das Militär herangezogen; dieser fand allerdings in Berlin statt und endete bereits mit dem Ende des Ersten Weltkriegs im November 1918.

Brauers Vater war bereits 1917 verstorben, so dass Richards sieben Jahre älterer Bruder Alfred sich seiner annahm und insbesondere seine frühe wissenschaftliche Entwicklung anregte. (Richard Brauer selbst berichtet über diese Zeit in [2, Band 1, S. xv ff.].) Die Brüder wollten zunächst die Bereiche Mathematik einerseits und Physik beziehungsweise Ingenieurwissenschaften andererseits untereinander aufteilen. Alfred hatte bereits vor dem Krieg ein Mathematikstudium begonnen; Richard schrieb sich im Zwischensemester Anfang 1919 an der Technischen Hochschule zu Charlottenburg (heute: Technische Universität Berlin) ein. Bereits im gleichen Jahr wechselte er jedoch zum einen an die Universität in Berlin und zum anderen zum Fach Mathematik, mit Physik als Nebenfach.

Bis auf das Sommersemester 1920 in Freiburg im Breisgau verbrachte Richard Brauer seine gesamte Studienzeit in Berlin, wo er mit Ludwig Bieberbach (1886-1982) und Erhard Schmidt (1876-1959) in engeren Kontakt kam. Den größten wissenschaftlichen Einfluss übte jedoch Issai Schur auf ihn aus, der auch im Frühjahr 1924 das Thema „Über die Darstellung der Drehungsgruppe durch Gruppen linearer Substitutionen“ von Brauers Doktorarbeit anregte; es ging darum, ein Resultat, das Schur bereits auf anderem Wege gefunden hatte, mit algebraischen Methoden zu beweisen.

Die mündliche Doktorprüfung fand am 16. Juli 1925 statt; Prüfer waren Schur und Schmidt in Mathematik, Max Planck (1858-1947) in Physik und Max Wertheimer (1880-1943) in Philosophie. (Der Anfang des Prüfungsprotokolls ist auf dem Schutzumschlag des Buches [1] reproduziert.) Brauer wurde mit der bestmöglichen Note zum Dr. phil. promoviert.

Kurz danach, am 17. September 1925, heiratete Brauer Ilse Karger (1901-1980), die Tochter eines Berliner Arztes und bereits seit 1924 promovierte Experimentalphysikerin, die sich aber bald der Mathematik zuwandte; als die Brauers nach Nordamerika emigriert waren, war sie in diesem Fach auch als Instructor und als Assistant Professor tätig.

Zum Wintersemester 1925/26, noch vor der Aushändigung der Promotionsurkunde am 16. März 1926, erhielt Brauer eine Assistentenstelle bei Konrad Knopp (1882-1957) in Königsberg (Preußen, heute Kaliningrad, Russland). Da dieser aber bereits 1926 einem Ruf nach Tübingen folgte, war Brauer im Folgenden größtenteils sein eigener Herr und konnte sich bereits 1927 in Königsberg habilitieren.

In Königsberg wurden auch die beiden Söhne des Ehepaares Brauer geboren: Georg (George) Ulrich (1927-2013), 1954-1996 Professor an der University of Minnesota in Minneapolis, und Friedrich (Frederick, Fred) Günther (Guenther) (1932-2021), 1960-1997 Professor an der University of Wisconsin in Madison, 1997-2021 Honorary Fellow an der University of British Columbia in Vancouver.

Nach der nationalsozialistischen Machtübernahme und dem Erlass des „Gesetzes zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums“ verlor Brauer aufgrund seiner jüdischen Herkunft bereits im Sommer 1933 seine Assistentenstelle; ebenso wurde ihm seine Lehrberechtigung aberkannt. Aufgrund seines bereits international erworbenen wissenschaftlichen Ansehens erhielt er schon in der ersten Oktoberwoche 1933 ein Telegramm mit dem Angebot einer einjährigen Gastprofessur an der University of Kentucky in Lexington. Diese Professur trat er im November 1933 an, obwohl er zu jenem Zeitpunkt Englisch wohl lesen, aber kaum sprechen konnte. Im akademischen Jahr 1934/35 war er Assistent Hermann Weyls (1885-1955) am Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey; dieser kannte Brauer zwar zuvor nicht persönlich, hatte aber dessen mathematische Leistungen schon in Europa wahrgenommen. Umgekehrt sah Brauer für sich die Zeit bei Weyl als die Erfüllung eines Traumes an.

Dank einer Empfehlung von Emmy Noether (1882-1935) anlässlich eines Vortrags von ihr an der University of Toronto, Ontario, Kanada, erhielt Brauer dort Ende 1935 eine Stelle als Assistant Professor für Mathematik. Später wurde er dort auch Associate und zuletzt Full Professor.

Im Jahr 1948 wechselte er als Full Professor für Mathematik an die University of Michigan in Ann Arbor, und von dort 1952 an die Harvard University in Cambridge, Massachusetts, an der er bis zu seiner Pensionierung 1971 blieb. Von 1959 bis 1963 war er dort Head of the Department of Mathematics, 1967 wurde er Perkins Professor. Auch wenn Ann Arbor und Harvard die letzten Stationen von Brauers Karriere darstellen, verfasste er dort circa die Hälfte seiner insgesamt über 120 Publikationen.

Brauer wirkte mehrfach als Gastprofessor, 1941 an der University of Wisconsin, 1959/60 an der Nagoya University, Japan, 1964 an der Universität Göttingen und 1972 an der Aarhus Universitet, Dänemark.

Am 17. April 1977 verstarb er in Belmont bei Boston, Massachusetts.

Brauer hielt Plenarvorträge auf den Internationalen Mathematiker-Kongressen in Amsterdam (1954), Stockholm (1962) und Nizza (1970).

Im Jahr 1941/42 erhielt er ein Guggenheim Memorial Fellowship, im Jahr 1949 den Cole Prize der American Mathematical Society und im Jahr 1971 die National Medal for Scientific Merit der USA. Weiterhin war er 1959/60 Präsident der American Mathematical Society.

Die University of Waterloo, Ontario (1968), die University of Chicago, Illinois (1969), die University of Notre Dame, Indiana (1974) und die Brandeis University, Waltham, Massachusetts (1975) verliehen ihm jeweils einen Ehrendoktortitel.

Er war Mitglied der Royal Society of Canada (Ernennung 1945), der American Academy of Arts and Sciences (1954), der National Academy of Sciences der USA (1955) und der American Philosophical Society (1974). Weiterhin war er Ehrenmitglied der London Mathematical Society (1963) und korrespondierendes Mitglied der Akademie der Wissenschaften in Göttingen (1964).

Bereits als Student veröffentlichte Richard Brauer gemeinsam mit seinem Bruder Alfred und Heinz Hopf (1894-1971) eine mathematische Arbeit im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung; bei dieser geht es um die Irreduzibilität gegebener Polynome. Das Problem hatte Schur in einer Übungsstunde aufgeworfen, weil er es nicht selbst lösen konnte.

Brauers eigentliche mathematische Forschungen beschäftigten sich jedoch mit verschiedenen Aspekten der Gruppentheorie. Das Konzept der Gruppe hatte sich im 19. Jahrhundert langsam herausgeschält und tritt in vielen Bereichen der Mathematik auf. Aufgrund der Abstraktheit und Allgemeinheit dieses Konzeptes ist es jedoch schwierig, interessante Eigenschaften von Gruppen zu finden und zu beweisen. Daher hatten sich unter anderem Georg Frobenius (1849-1917) und sein Doktorschüler Schur mit sogenannten „Darstellungen“ von Gruppen beschäftigt: Man versucht, eine abstrakt gegebene Gruppe in dem Sinne „darzustellen“, dass man sie als eine Gruppe von linearen Abbildungen eines Vektorraumes in sich wiederfindet, was dann ermöglicht, Lineare Algebra zu Hilfe zu nehmen.

Neben Schur beschäftigte sich auch Weyl mit Darstellungen von Gruppen, und so kam es, dass nicht nur Brauer sich in seiner Dissertation mit der speziellen Situation der „Darstellung der Drehungsgruppe durch lineare Substitutionen“ auseinandersetzte, sondern auch Weyl unabhängig (aber praktisch gleichzeitig) zu denselben Ergebnissen kam. Dabei stützten sich beide auf Vorarbeiten von Schur.

Um diese Zeit hatte man auch erkannt, dass die Darstellungstheorie von Gruppen eng mit der entsprechenden Theorie für Algebren, insbesondere über den reellen Zahlen, verwandt ist. Diese wurden auch hyperkomplexe Systeme genannt, da man sie bei dem Versuch eingeführt hatte, Verallgemeinerungen der reellen Zahlen über die komplexen Zahlen hinaus zu finden. Jeder endlichen Gruppe lässt sich eine endlich-dimensionale Algebra zuordnen, die sogenannte „Gruppenalgebra“, deren Multiplikation die Gruppenverknüpfung widerspiegelt.

In den Jahren in Königsberg, nach seiner Promotion, beschäftige sich Brauer hauptsächlich mit der Theorie der Algebren und ihrer Darstellungstheorie. So führte er in seiner Habilitationsschrift auf der Menge der zentralen einfachen Algebren über einem gegebenen Körper eine Gruppenstruktur ein, die heutzutage als Brauer-Gruppe bekannt ist.

In dieser Zeit kam er auch mit Emmy Noether in Kontakt: Brauer widerlegte eine vage Vermutung Noethers, was dann zu einer gemeinsamen Arbeit der beiden führte, die Schur 1927 in den Sitzungsberichten der Preußischen Akademie der Wissenschaften erscheinen ließ. Kurz danach schloss sich Helmut Hasse (1898-1979) Brauer und Noether in ihren Untersuchungen an. Auch wenn die drei nicht an einem Ort zusammenarbeiteten, war der postalische Austausch zwischen ihnen aufgrund ihrer verschiedenen Vorkenntnisse sehr erfolgreich und führte 1931 zum Satz von Brauer-Hasse-Noether, der besagt, dass jede zentrale Divisionsalgebra über einem algebraischen Zahlkörper zyklisch ist.

Während seiner Zusammenarbeit mit Weyl 1934/35 in Princeton widmete sich Brauer auch der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen, also von Gruppen, deren Verknüpfung stetig ist. Er und Weyl veröffentlichten auf der Basis von Paul Diracs (1902-1984) Theorie des Elektrons einen Aufsatz über „Spinors in n Dimensions“. Dieser wurde in den 1940er Jahren von Bruria Kaufman (1918-2010) und Lars Onsager (1903-1976) verwendet, um Onsagers Ergebnisse über das Ising-Modell für Kristalle (Nobelpreis für Chemie 1968) für die zweidimensionale Situation fortzuschreiben.

Darstellungen von Gruppen oder Algebren werden genutzt, um diese Objekte mit Hilfe von Linearer Algebra besser zu verstehen. Lineare Algebra benötigt jedoch die Festlegung eines Grundkörpers. Brauer hatte dazu, wie fast alle seine Kollegen, bis zu seiner Zeit in Toronto zumeist die rationalen, die reellen oder auch die komplexen Zahlen verwendet, auf jeden Fall Körper der Charakteristik 0, das heißt, solche, bei denen die Addition von lauter Einselementen niemals das Nullelement ergibt. Zur Darstellungstheorie für den Fall eines Grundkörpers mit positiver Charakteristik, in dem also eine Summe von lauter Einselementen irgendwann das Nullelement ergibt, gab es in der Frühzeit nur drei Arbeiten von Leonard Eugene Dickson (1874-1954) aus den Jahren 1902 bis 1907. Dieser führte auch den Begriff „modulare Darstellungen“ für Darstellungen ein, bei denen ein Grundkörper mit positiver Charakteristik vorliegt.

Brauer hatte zwar schon 1935 eine kurze Arbeit zu dieser Art der Darstellungstheorie geschrieben. Intensiv wandte er sich diesem Feld allerdings erst in Toronto zu, zunächst gemeinsam mit seinem ersten Doktoranden Cecil James Nesbitt (1912-2001). Dabei traten neuartige Ergebnisse insbesondere in dem Fall auf, dass die Anzahl der Elemente der betrachteten Gruppe ein ganzzahliges Vielfaches der kleinsten positiven Anzahl von Einselementen ist, die notwendig sind, um das Nullelement additiv zu erzeugen. Brauer entwickelte die Grundlagen der zugehörigen Theorie in den nächsten Jahrzehnten im Wesentlichen selbst und schuf damit die Basis für das Teilgebiet „Modulare Darstellungstheorie“ der Mathematik.

Hatte dies vor allen Dingen eher langfristige Auswirkungen auf die Entwicklung der Mathematik, so brachte ein anderer Aspekt der Darstellungstheorie ihm sehr schnell großen Ruhm ein.

Darstellungtheorie von Gruppen war in den 1920er Jahren keinesfalls ein Monopol der Berliner Mathematiker. Emil Artin (1898-1962) hatte 1923 in Hamburg L-Reihen als Verallgemeinerung der Zeta-Reihe für Galois'sche Körpererweiterungen mit Hilfe von Darstellungen der zugehörigen Galois-Gruppe eingeführt. Während aber für die Zeta-Reihe spätestens seit Bernhard Riemann (1826-1866) bekannt war, dass sie sich zu einer auf der gesamten komplexen Zahlenebene analytischen Funktion mit nur einem Pol in 1 fortsetzen lässt, war es Artin nur gelungen zu zeigen, dass es zu jeder seiner L-Reihen eine natürliche Zahl gibt, so dass sich die Potenz der L-Reihe mit dieser Zahl als Exponenten analytisch fortsetzen lässt, wobei nur die Zetafunktion einen Pol besitzt.

Diese Aussage dahingehend zu verschärfen, dass sie auch für die L-Reihe selbst gilt, klingt zunächst nach einer Aufgabe aus der Theorie der komplexen Funktionen. Brauer, der Artin zwar schon in Deutschland kennengelernt, sich dort aber nicht mit diesem Problem auseinandergesetzt hatte, vertiefte ab dem Ende der 1930er Jahre seinen Kontakt zu ihm und wandte sich in seiner Zeit in Toronto verstärkt auch diesem Aspekt der Darstellungstheorie endlicher Gruppen zu. Da die L-Reihen mittels Darstellungen von Galois-Gruppen definiert sind, konnte er zunächst das Problem der analytischen Fortsetzung in eine Aussage über Darstellungen umformulieren. Um 1946 gelang es ihm, den erforderlichen „Brauer'schen Induktionssatz“ zu beweisen, womit er dann auch gezeigt hatte, dass sich die L-Reihen selbst auf die gesamte Zahlenebene analytisch fortsetzen lassen. Für seine diesbezügliche Veröffentlichungen „On Artin's L-series with general group characters“ in den Annals of Mathematics und „On the zeta-functions of algebraic number fields“ im American Journal of Mathematics im Jahr 1947 erhielt Brauer 1949 den Frank Nelson Cole-Preis der American Mathematical Society für beachtenswerte Arbeiten in der Zahlentheorie.

Endliche Gruppen lassen sich stets schrittweise aus sogenannten „einfachen“ Gruppen zusammensetzen, wobei „einfach“ nur bedeutet, dass derartige Gruppen nicht aus anderen zusammengesetzt sind. Resultate über diese einfachen Gruppen hatte Brauer schon Ende der 1930er Jahre gefunden. In seiner Zeit in Harvard, also circa ab 1952, untersuchte er zum einen die Frage, wie sich diese einfachen Gruppen charakterisieren lassen, wie man also einer gegebenen Gruppe ansehen kann, ob sie sich zerlegen lässt oder nicht, und zum anderen die Frage, welche Typen von einfachen Gruppen überhaupt auftreten können. Diese Vorgehensweise wurde als „Brauers Programm“ bekannt.

Diese Forschungen wurden von seinem Schüler Walter Feit (1930-2004) mit John Griggs Thompson (geb. 1932) zu dem Ergebnis weitergeführt, dass alle nichttrivialen endlichen Gruppen mit einer ungeraden Anzahl von Elementen entweder nicht einfach oder zyklisch von Primzahlordnung sind. Dieses Resultat gab dann Anlass zu der in den letzten Jahrzehnten erfolgten Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen.