Mathematiker des Monats März 2018
Christoph Gudermann (1798-1851)
von Peter Ullrich
 
Christoph Gudermann
Statt eines (offenbar nicht überlieferten) Porträts:
Der Beginn der letzten Zeilen mathematischen Inhalts von Gudermanns Hand,
reproduziert im Journal für die reine und angewandte Mathematik Band 43, S. 375
 
Auch wenn Christoph Gudermann weder in Berlin studiert noch dort eine Stelle innegehabt hat, sind seine Beziehungen zu dieser Stadt doch eng und vielfältig: Er hat dort das Staatsexamen für das Lehramt an Gymnasien abgelegt, er war einer der produktivsten Autoren von August Leopold Crelles (1780–1855) Journal für die reine und angewandte Mathematik, er wurde von der Philosophischen Fakultät der Berliner Friedrich-Wilhelms-Universität promoviert, und er war in der Mathematik formal gesehen der einzige akademische Lehrer von Karl Weierstraß (1815–1897).

Leben

Geboren wurde Christoph Gudermann am (je nach Quelle) 25. bzw. 28. März 1798 in Vienenburg, damals ein eigenständiger Ort im Bistum Hildesheim, seit 2014 ein Stadtteil von Goslar. Im Zuge der Säkularisation kam die Gegend wenige Jahre später zum Königreich Hannover. Christophs Vater Joseph war Lehrer in einem Nachbarort von Vienenburg; von seiner Mutter Anna Maria ist nur der Geburtsname Eilers bekannt. Für Christophs Lebensweg sollte von Bedeutung werden, dass er katholischer Konfession war. In den Jahren 1809 bis 1820 besuchte er in Hildesheim das Gymnasium Josephinum. Zunächst sollte er offenbar Geistlicher werden, wobei möglicherweise die soziale Versorgung eine Rolle spielte: Als er sich am 13. April 1820 an der Universität in Göttingen einschrieb, wurden ihm wegen Armut die Studiengebühren erlassen. Immatrikuliert wurde er jedoch nicht für Theologie, sondern für Mathematik, auf die er sich von Anfang an spezialisierte.
Bereits im März 1822 legte Gudermann sein Staatsexamen für das Lehramt an Gymnasien ab – und zwar in Berlin. Seine Gründe, das Königreich Hannover zu verlassen, sind nicht ganz klar: Wie bereits erwähnt, war Vienenburg erst wenige Jahre zuvor zu diesem Königreich gekommen. Vor allen Dingen aber hatten sich die Perspektiven für Gymnasiallehrer in Preußen durch die Humboldtsche Bildungsreform erheblich verbessert. Hinzu kam, dass Preußen nach dem Wiener Kongress mit den Provinzen Rheinland und Westfalen große Gebiete mit überwiegend katholischer Bevölkerung hinzugewonnen hatte, die für die Ausbildung der Gymnasiallehrer dort zuständigen Hochschulen in Bonn und Münster ihren Betrieb aber erst 1818 (wieder)aufgenommen hatten.
Das Interesse des zuständigen preußischen Ministeriums an Gudermann war so groß, dass er nach seinem Staatsexamen Geldzuwendungen erhielt, bis er im Oktober 1823 eine Lehrerstelle in Cleve (seit 1935: Kleve) antrat. Dieses wurde seit 1614 von Brandenburg / Preußen verwaltet, war jedoch aufgrund eines Religionsvergleichs katholisch geblieben. In der Bibliothek der Schule, an die Gudermann kam, gab es allerdings kein einziges mathematisches Buch. Seiner Bitte um Erhöhung des Bibliotheksetats wurde zwar Genüge getan, jedoch mit der Auflage, „bei der Anschaffung von Büchern vorzüglich Philologie und Geschichte im Auge“ zu haben.
Trotz dieser der Forschung nicht zuträglichen Lage zeigte Gudermann als Lehrer erstaunliche mathematische Aktivität: So publizierte er seine erste Schrift bereits im Jahre 1825 und schon 1830 ein Buch. 1829 hatte er weiterhin begonnen, in dem von Crelle herausgegebenen Journal für die reine und angewandte Mathematik zu veröffentlichen, wobei er es bis 1832 auf 11 publizierte Arbeiten brachte. Bei dieser Zählung wird wohlgemerkt Gudermanns „Theorie der Potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen Functionen“ als eine Arbeit gerechnet, obwohl der Separatabdruck ihrer zahlreichen Teile in Buchform 354 Druckseiten umfasst.
Die Humboldtsche Reform des Gymnasialwesens sah in Fällen wissenschaftlicher Publikationstätigkeit von Gymnasiallehrern durchaus die Beförderung zum Oberlehrer vor. Für Gudermann (wie auch für Ernst Eduard Kummer (1810–1893) und Weierstraß) war der Karriereschritt aber noch deutlicher:
Die Höhere Lehranstalt zu Münster war zwar keine Volluniversität, sondern verfügte nur über eine (hier: Katholisch-)Theologische und die Philosophische Fakultät und hatte zur Aufgabe, katholische Geistliche und Gymnasiallehrer auszubilden. Im Jahr 1832 wurde sie zur Akademische[n] Lehranstalt mit Promotions- und Habilitationsrecht nur für die Theologische Fakultät. 1834 wurde ihr Name erneut geändert, jetzt in Königliche Theologische und Philosophische Akademie, und 1844 ihr wurde auch für die Philosophische Fakultät das Promotionsrecht verliehen, allerdings mit Ausnahme naturwissenschaftlicher Kandidaten. An diese Institution wurde Gudermann 1832 als Nachfolger des überraschend verstorbenen Professors Franz Baumann (1794–1832) der Mathematik berufen.
Bevor er aber die außerordentliche Professur besetzen konnte, musste er noch promoviert werden. Dazu wandte sich Gudermann nicht etwa an seine alte alma mater in Göttingen, sondern an die Friedrich-Wilhelms-Universität in Berlin und bekundete dieser gegenüber seine Bereitschaft, sich einem regulären Promotionsverfahren zu unterziehen. Die zuständige Fakultät bat Crelle um eine Stellungnahme, der sich wie folgt zu Gudermann und dessen Arbeiten äußerte:
„[Sie] zeichnen sich durch Klarheit, Gediegenheit, Schärfe der Begriffe und Consequenz in der Ausführung auf eine höchst erstaunliche Weise aus. [. . . ] Im Allgemeinen halte ich den Herrn Gudermann für einen mit ungewöhnlichem Talent begabten und schon jetzt um seine Wissenschaft wesentlich verdienten Geometer.“
Dieses Gutachten reichte aus: Man beschloss, Gudermann die üblichen Regularien zu erlassen, und promovierte ihn mit Datum vom 29. November 1832 ehrenhalber.
Crelles Wertschätzung für Gudermann war so hoch, dass er ihn 1835 auch für die Nachfolge Wilhelm Adolf Diesterwegs (1782–1835) an der Universität Bonn empfahl. Berufen wurde stattdessen jedoch Julius Plücker (1801–1868). Gudermann dokumentierte seine Enttäuschung darüber, indem er in die Tageszeitungen von Köln und Münster Anzeigen des Inhalts setzen ließ, man würde in den preußischen Provinzen Rheinland und Westfalen demnächst nur bei ihm in Münster Vorlesungen über moderne Mathematik hören können.
In der Tat: Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851) war im Wintersemester 1829/30 weltweit der erste gewesen, der über elliptische Funktionen las; Gudermann folgte ihm 1836 als zweiter nach. Auch publizierte er über dieses Thema, etwa in den Jahren 1838 bis 1843 eine mehrteilige „Theorie der Modular-Functionen und der Modular-Integrale“. Gemeint waren damit in der Tat elliptische Funktionen und elliptische Integrale, die Gudermann unter anderem deshalb anders benannte, da diese nur am Rande etwas mit Ellipsen zu tun haben. Angesichts dieser Aktivität ist es nicht überraschend, dass er 1838 zum ordentlichen Professor in Münster ernannt wurde.
Gudermann veröffentlichte insgesamt 41 Zeitschriftenartikel, allesamt im Journal für die reine und angewandte Mathematik, und 3 Bücher sowie 2 nochmals in Buchform separat abgedruckte Artikel.
Wie schon das Geburtsdatum wird auch das Todesdatum Gudermanns unterschiedlich angegeben: Zum einen wird als Tag bisweilen der 21. und bisweilen der 25. September genannt. Zum anderen aber schwankt die Angabe des Jahres zwischen 1851 und 1852, selbst bei ansonsten als zuverlässig geltenden Quellen. Da sich aber bereits in dem 1851 erschienenen Band 42 des Journal[s] für die reine und angewandte Mathematik eine Würdigung Gudermanns durch Crelle findet, steht dieses Jahr als Todesjahr fest.

Werk

Dass Gudermann in den Jahren 1820 bis 1822 in Göttingen Mathematik studierte, hat einige Autoren dazu geführt, in ihm einen Gauß-Schüler zu sehen und sogar zu behaupten, er habe bei diesem promoviert. Nun war aber Gauß seit 1807 Direktor der Sternwarte und Professor für Astronomie und nicht für Mathematik. Somit kündigte er insbesondere während der Studienzeit Gudermanns nur Vorlesungen zur Astronomie an. Da dieser sich aber dezidiert für Mathematik und nicht für Astronomie eingeschrieben hatte, hörte er seine Vorlesungen ordnungsgemäß bei dem zuständigen Fachvertreter Bernhard Friedrich Thibaut (1775–1832).
Thibauts Mathematik basierte auf der kombinatorischen Analysis im Sinne von Carl Friedrich Hindenburg (1741–1808). Für ihn war die allgemeine Arithmetik der wichtigste Teil der Mathematik; sie sollte gänzlich ohne geometrische Betrachtungen behandelt werden. So unterstellte Thibaut etwa, dass sich alle Funktionen durch Potenzreihen ausdrücken lassen, so dass es möglich ist, ihre Eigenschaften allein durch Betrachtung ihrer Potenzreihenentwicklungen zu analysieren. Als Besonderheit, die für den direkten Einfluss auf Gudermann (und damit den indirekten auf Weierstraß) bedeutsam war, betrachtete Thibaut von Anfang an Potenzreihen komplexer Argumente. Weiterhin hatte sich Thibaut der Geometrie zugewandt, die er als unabhängige Teildisziplin der Mathematik betrachtete mit dem Dreieck als Grundform aller Anschauung.
Angesichts des genannten Hintergrundes der Thibautschen Mathematik ist es wenig überraschend, dass das erste Manuskript Gudermanns, die 1825 erschienene Schrift „Allgemeiner Beweis des polynomischen Lehrsatzes ohne die Voraussetzung des binomischen“, sich dem polynomischen Lehrsatz widmete, den Hindenburg als „das wichtigste Theorem der ganzen Analysis“ angesehen hatte (siehe [3]). Im gesamten mathematischen Werk Gudermanns machen die Arbeiten zur kombinatorischen Analysis im engeren Sinne aber nur einen geringen Teil aus, der zudem in die frühen Jahre seines Wirkens fällt.
Hingegen durchzieht die Beschäftigung mit der analytischen Sphärik im Sinne einer analytischen Geometrie auf der Kugel seine gesamte Publikationstätigkeit, beginnend mit dem 1830 erschienenen Buch „Grundriss der analytischen Sphärik“ über das 1835 publizierte „Lehrbuch der niederen Sphärik“ bis hin zu posthum veröffentlichten Artikeln. Gudermann wählte in seinen Arbeiten – von Thibaut abweichend – einen rechnerisch-analytischen Zugang zur Geometrie und betrachtete zunächst simultan sowohl die ebene als auch die sphärische Geometrie. Dabei stellte er fest, dass man die Formeln für die ebene Geometrie jeweils als Spezialfall derer für die sphärische Geometrie interpretieren kann, wenn man den Kugelradius nach Unendlich streben lässt. Dies führte ihn dazu, nur sphärische Geometrie betreiben zu wollen, da diese die ebene als Grenzfall umfasst.
Fast zeitgleich mit den Arbeiten zur sphärischen Geometrie begann Gudermann, über spezielle Typen analytischer Funktionen von komplexen Argumenten zu publizieren. Gleich sein zweiter Artikel im Journal für die reine und angewandte Mathematik trägt den Titel „Über die Potenzial-Functionen“. Den Terminus Potenzial hatte Gudermann gewählt, weil sich die betrachteten Funktionen mit Hilfe von Potenzen definieren lassen, genauer: der Exponential-Funktion, die hyperbolischen direkt, die trigonometrischen nach Multiplikation des Arguments mit der imaginären Einheit. Indem er reelle und rein imaginäre Argumente zuließ, gelang es Gudermann, die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen auf rein arithmetischer Basis in ein- und derselben Theorie gemeinsam zu behandeln. Ganz in der Tradition der kombinatorischen Analysis waren dabei Potenzreihenentwicklungen ein wichtiges Hilfsmittel. Der ausführlichen Darstellung dieser Theorie ist Gudermanns bereits erwähnte Publikation „Theorie der Potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen Functionen“ gewidmet, in deren erstem Teil sich auch die heute als Gudermannsche bezeichnete Funktion findet.
Bald darauf verallgemeinerte er seine Betrachtungen: Hyperbolische und trigonometrische Funktonen bzw. deren Umkehrfunktionen liefern Stammfunktionen für Integrale des TypsIntegralmit P(t) ein Polynom vom Grad 1 oder 2 (ohne mehrfache Nullstellen), etwa P(t) = 1 – t2. Ist hingegen P(t) vom Grad 3 oder 4 (ohne mehrfache Nullstellen), etwa P(t) = (1 – t2)(1 – k2t2), so ergeben sich als Stammfunktionen bzw. deren Umkehrfunktionen Funktionen, welche Gudermann als Modular-Functionen bezeichnete, da sie von dem Modulus genannten Parameter k abhängen. Bereits damals wurden sie allerdings üblicherweise als elliptische Funktionen bezeichnet.
Um 1835 herum begann Gudermann mit Publikationen über diesen damals ganz neuen Funktionstyp und verfasste bald auch seine bereits erwähnte „Theorie der Modular-Functionen und der Modular-Integrale“. Angesichts der Nähe der Modular-Functionen zu den zuvor betrachteten Potenzial-Functionen überrascht es nicht, dass er dabei vergleichbare Methoden zur Untersuchung verwendete. Insbesondere Entwicklungen in Reihen waren ein zentrales Instrument und wurden – in teilweise erschreckender Ausführlichkeit – explizit angegeben.
Dabei war Gudermann durchaus auch daran interessiert, numerisch schnell konvergente Reihen zu erhalten. In diesem Zusammenhang konstatierte er 1838:
„Es ist ein bemerkenswerther Umstand, daß sowohl die unendlichen Producte in § 58, als auch die so eben gefundenen Reihen einen im Ganzen gleichen Grad der Convergenz haben.“
Auch, wenn er diese Bemerkung nicht weiter diskutierte, hat sie ihm doch einen Platz in der Ahnengalerie der gleichmäßigen Konvergenz gesichert.
1838 kam Weierstraß zum Mathematik-Studium nach Münster, um Gymnasiallehrer zu werden. Er hörte im Wintersemester 1838/39 und im Sommersemester 1839 Vorlesungen bei Gudermann, nachdem er bereits während seines Kameralistik-Studiums in Bonn die Mitschrift einer von dessen Vorlesungen studiert hatte. Über das Verhältnis zwischen Gudermann und ihm ist bereits zu Lebzeiten von Weierstraß vieles geschrieben worden, was auch später noch unkritisch übernommen wurde. Neuere Arbeiten belegen hingegen zum Beispiel, dass Weierstraß sein Staatsexamen in Münster nur aufgrund einer Sondergenehmigung bestanden hatte, dass er danach durchaus Kontakte mit der akademischen Welt suchte und dass Gudermann das nur ein Jahr nach dem Weggang von Weierstraß Münster verliehene Promotionsrecht umgehend nutzte, wenn auch nicht mit diesem als Doktorschüler. In seiner „Akademischen Antrittsrede“ vor der Königlich-Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin jedenfalls berichtete Weierstraß über Gudermanns Einfluss auf seine Entwicklung:
„[D]ie Theorie der elliptischen Functionen, hatte von der Zeit an, wo ich unter der Leitung meines hochverehrten Lehrers G u d e r m a n n , dem ich stets eine dankbare Erinnerung bewahren werde, die erste Bekanntschaft mit derselben machte, eine mächtige Anziehungskraft auf mich geübt.“
 

Weiterführende Literatur

[1]   Jürgen Elstrodt: Die prägenden Jahre im Leben von Karl Weierstraß, In Wolfgang König, Jürgen Sprekels (Hrsg.): Karl Weierstraß (1815–1897), Aspekte seines Lebens und Werkes – Aspects of his Life and Work, Springer Spektrum, Wiesbaden, 2015, S. 11 - 51
[2]   Rudolf Fritsch: Gudermann, Bodenmiller und der Satz von Bodenmiller-Steiner, Didaktik der Mathematik 20, Heft 3 (1992), 165 - 187
[3]   Carl Friedrich Hindenburg: Der polynomische Lehrsatz das wichtigste Theorem der ganzen Analysis nebst einigen verwandten und andern Sätzen, Gerhard Fleischer dem Jüngeren, Leipzig, 1796
[4]   Gert Schubring: Warum Karl WEIERSTRASS beinahe in der Lehrerprüfung gescheitert wäre, Der Mathematikunterricht 35, Heft 1 (1989), 13 - 29
[5]   Peter Ullrich: Karl Weierstraß und die erste Promotion in Mathematik an der Akademie zu Münster, In Gudrun Wolfschmidt (Hrsg.): Es gibt für Könige keinen besonderen Weg zur Geometrie, Festschrift für Karin Reich, Algorismus 60 (2007), Dr. Erwin Rauner Verlag, Augsburg, S. 145 - 162
 

Bildnachweis

Schriftfragment   Der Beginn der letzten Zeilen mathematischen Inhalts von Gudermanns Hand,
reproduziert im Journal für die reine und angewandte Mathematik Band 43, S. 375