von Peter Ullrich

Von der Gründung der (Friedrich-Wilhelms-)Universität zu Berlin bis zum Jahr 1933 erhielten nur 13 Doktoranden der Mathematik das jeweils bestmögliche Prädikat; zu ihnen gehört Franz Mertens. Er verfasste bedeutende Beiträge zur – insbesondere analytischen – Zahlentheorie (z. B. die Mertenssche Vermutung) und zur Algebra (z. B. zur Eliminationstheorie). Zudem gab er, vornehmlich über seinen Schüler Ernst (Sigismund) Fischer (1875-1954), der jungen Emmy Noether (1882-1935) „den entscheidenden Anstoß zu der Beschäftigung mit abstrakter Algebra in arithmetischer Auffassung“. Dass er dennoch in Deutschland nicht allgemein bekannt ist, mag damit zusammenhängen, dass ihn seine Karriere von Berlin in das Habsburgerreich und dort von Krakau bis nach Wien führte.

Franz Carl Joseph Mertens ist ein Beleg dafür, dass damals das Konzept des Nationalstaates erst im Entstehen war: Seine Vornamen lassen eine Nähe zum Kaiserhaus Habsburg(-Lothringen) vermuten; die Familie seines Vaters kam aber aus der Gegend von Bremen. (Der Leiter der Bremer Handelsschule und Botaniker Franz Carl Mertens (1764-1831) war mit ihm verwandt.) Sein Großvater mütterlicherseits, Major de Malignon, war als französischer Offizier in das Herzogtum Warschau gekommen und hatte dort eine Tochter der in Września (deutsch: Wreschen) ansässigen Gutsbesitzerfamilie Nehring geheiratet.

Września liegt circa 50 km östlich von Poznań (deutsch: Posen) und war 1793 bei der zweiten polnischen Teilung Preußen zugeschlagen worden. Nach dem Frieden von Tilsit 1807 gehörte es zum Herzogtum Warschau, einem napoleonischen Satellitenstaat auf polnischem Boden, und ab dem Wiener Kongress 1815 erneut zu Preußen als Bestandteil der Provinz Großherzogtum Posen, der einzigen preußischen Provinz mit nicht-deutscher, nämlich polnischer, Bevölkerungsmehrheit.

Nach dem Wiener Kongress zog das Ehepaar mit seinen drei Töchtern in die Heimat des Ehemanns, nach Bagnols-sur-Cèze in der Nähe von Avignon. Nach dessen Tod kehrten die Großmutter von Franz Mertens und unter anderem ihre Tochter Henriette 1836 nach Wreschen zurück, wo Henriette den Kreiswundarzt Julius Mertens heiratete.

Ihr am 20.März 1840 geborener Sohn Franz wuchs also unter deutschen, polnischen und französischen Einflüssen auf; er beherrschte auch alle drei Sprachen fließend, wobei er allerdings keine mathematischen Publikation auf Französisch verfasste. Obwohl (bis zu seinem Tode) evangelischer Konfession besuchte Franz Mertens das (polnischsprachige) katholische Gymnasium in Trzemeszno (deutsch: Tremessen), das er 1860 mit der Reifeprüfung abschloss.

Danach ging Mertens nach Berlin, wo er an der Friedrich Wilhelms-Universität Mathematik und Physik studierte. In Mathematik hörte er Vorlesungen bei allen drei Mitgliedern des damaligen „Triumvirats“: Leopold Kronecker (1823-1891), Ernst Eduard Kummer (1810-1893) und Karl Weierstraß (1815-1897). Im Jahr 1863 erhielt Mertens die Semesterprämie in Höhe von 10 Talern und ein Jahr später die Prämie des Kultusministeriums in Höhe von 50 Talern. Sein Doktorvater wurde Kummer, bei dem er 1865 mit der Dissertation „De functione potentiali duarum ellipsoidium homogenearum“ über ein Thema der Potentialtheorie promoviert wurde.

Noch im gleichen Jahr, „mit Allerh. Entschließung vom 1. September 1865“ wurde er „zum außerordentlichen Professor der reinen Mathematik mit polnischer Vortragssprache an die Universität in Krakau berufen“: Die polnische Königsstadt Kraków (deutsch: Krakau) war bei der dritten polnischen Teilung 1795 zu Österreich gekommen; nach dem Wiener Kongress wurde sie jedoch zu einem Freistaat erklärt, der von Österreich, Preußen und Russland gemeinsam verwaltet wurde. Im Jahr 1846 kam es dann zum Aufstand von Krakau, von dem sich polnische Nationalisten den Anfang einer Neugründung des polnischen Staates erhofften: Das Russland zugeschlagene Gebiet hatte man seitens der Aufständischen ohnehin für eine spätere Phase vorgesehen, im von Preußen verwalteten Gebiet waren die Aufstandspläne an die Polizei verraten worden, so dass der Aufstand nur im österreichischen Gebiet stattfand. Nach anfänglichen Erfolgen der polnischen Nationalisten brach dieser jedoch bald zusammen, insbesondere aufgrund der fehlenden Unterstützung durch die galizischen Bauern. Er kostete aber tausenden Angehörigen der polnischen Gutsbesitzerschicht das Leben. Nach diesen Ereignissen wurde Krakau wieder vollständig der österreichischen Herrschaft unterstellt und unter anderem an der Universität Deutsch als Lehrsprache verpflichtend vorgeschrieben. Erst ab 1861 gab es auch in dem vormaligen Unruheherd Professuren, deren Inhaber auf Polnisch lehrten.

Es wird behauptet, dass die anderen Bewerber auf die Professur, auf die Mertens als gerade frisch promovierter 25-Jähriger berufen wurde, entweder nicht genug Polnisch oder nicht genug Mathematik konnten. Ein möglicher Grund für die habsburgische Administration, einen Ausländer aus Preußen zu berufen, war natürlich auch, dass man von ihm aufgrund der Ereignisse von 1846 keine Gefährdung der politischen Ruhe erwartete. Was die Politik betrifft, so sind in der Tat von Mertens keinerlei polnisch-nationalistische Aktivitäten bekannt, obwohl er offenbar mit allen Gruppen der Bevölkerung Krakaus auf gutem Fuß stand. Was die Mathematik betrifft, erwies sich Mertens jedoch als konsequenter Förderer der polnischen Sprache: Gleich sein nächstes Resultat nach der Dissertation veröffentlichte er sowohl auf Deutsch (im Journal für die reine und angewandte Mathematik) als auch auf Polnisch (in Rocznik Towarzystwa Naukowego Krakowskiego [deutsch: Jahrbuch der Krakauer Gesellschaft der Wissenschaften]). Auch nachdem er Krakau längst verlassen hatte, publizierte er zahlreiche seiner Forschungsergebnisse auch auf Polnisch; so übersetzte er sein über 80 Druckseiten langes Werk zur Eliminationstheorie im Jahr 1901 (vergleiche unten), damit die polnischen Studierenden der Mathenatik es in ihrer Muttersprache lesen konnten. (Im Gegensatz hierzu bevorzugten die Studia Mathematica, das Publikationsorgan der als Beginn der modernen polnischen Mathematik angesehenen Lemberger Mathematik-Schule, Fremdsprachen. Dass in der Überschrift dieser Biographie auch die polnische Schreibweise des Rufnamens von Mertens verwendet wird, ist also durchaus angezeigt.)

Mertens wirkte 19 Jahre an der 1364 gegründeten Jagiellonen-Universität in Krakau, der zweitältesten in Mitteleuropa; mit Datum vom 22. April 1869 wurde er dort auch zum Ordinarius ernannt. Einen Ruf im Jahre 1882 auf die Nachfolge von Eduard Heine (1821-1881) an die Universität Halle lehnte er ab. Bald danach jedoch ging er den für Mathematikerkarrieren im Habsburgerreich typischen Weg und wechselte in die österreichischen Kernlande: 1884 erhielt er ein Ordinariat am Polytechnikum in Graz, und 1894 wurde er ordentlicher Professor an der Universität in Wien, wo er 1911 auch emeritiert wurde und bis zu seinem Tode am 5. März 1927 wohnte.

In Wien zählten Ernst Fischer und Eduard Helly (1884-1943) zu seinen Doktoranden; über ersteren wird noch zu berichten sein, letzterer zählt zu den Begründern der Funktionalanalysis und bewies bereits 1912 einen Spezialfall des Satzes von Hahn-Banach. Erwin Schrödinger (1887-1961) hingegen hörte zwar Vorlesungen bei Mertens, wurde aber mit einer Arbeit über luftelektrische Messungen promoviert.

Wie bereits erwähnt, beschäftigte sich Mertens zunächst mit Potentialtheorie. Auch in späteren seiner insgesamt 126 Publikationen kam er auf dieses Thema zurück oder auf andere Bereiche der reellen Analysis. Ebenso beschäftigte er sich mit Fragen der Geometrie. Seine wichtigsten und einflussreichsten Beiträge stammen jedoch aus der analytischen Zahlentheorie und aus der Algebra.

So gelang es ihm 1874, eine von Adrien-Marie Legrendre (1752-1833) rein empirisch gefundene asymptotische Formel für die Summe der Kehrwerte der Primzahlen unterhalb einer festen Zahl nicht nur zu beweisen, sondern auch die zugehörigen Konstanten explizit anzugeben.

Ein derartiges Vorgehen – erst Sammlung empirischer Daten, um genauere Vermutungen aufzustellen, dann ein präziser Beweis – hatte Mertens offenbar auch bei der nach ihm benannten Vermutung im Sinn: Der Wert μ(n) der Möbiusschen μ-Funktion für eine natürliche Zahl n ist gleich (-1)^k, wenn n das Produkt von k verschiedenen Primzahlen ist, und gleich 0, wenn n mehrfache Primfaktoren besitzt. Der Wert M(x) ihrer Summatorfunktion an einer Stelle x ist gleich der Summe aller Werte μ(n), für die natürliche Zahlen n, die x nicht übersteigen. Die Mertenssche Vermutung besagt nun, dass stets der Betrag von M(x) kleiner oder gleich der Quadratwurzel aus x ist. Träfe dies zu, so würde daraus die Gültigkeit der Riemannschen Vermutung folgen. Allerdings ist der Konjunktiv dieser Formulierung mit Bedacht gewählt: Die Mertenssche Vermutung wurde 1985 von Andrew Odlyzko (*1949 in Tarnów, ca. 50 km von Krakau entfernt) und Herman te Riele (*1947) widerlegt, wobei allerdings bis jetzt kein explizites Gegenbeispiel bekannt ist und man weiß, dass die Vermutung für alle Argumente x kleiner oder gleich 10¹⁴ doch korrekt ist. Mertens selbst hatte ihre Gültigkeit bis 10.000 „von Hand“ nachgerechnet und dies 1897 in einer 70 Seiten umfassenden Arbeit publiziert; Robert Daublebsky von Sterneck (1871-1928) führte diese Rechnungen sogar bis 150.000 weiter. (Diese Methode des systematischen numerischen Durchrechnens wurde bereits von Carl Friedrich Gauß (1777-1855) praktiziert und würde heutzutage wohl als „experimentelle Mathematik“ bezeichnet.)

Im gleichen Jahr, 1897, veröffentlichte Mertens auch eine Arbeit, in der er den Beweis für die Existenz von Primzahlen in arithmetischen Progressionen in der Art vereinfachte, wie er heute noch üblicherweise geführt wird: Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) hatte an entscheidener Stelle aufwendig theoretisch nachgewiesen, dass gewisse L-Funktionen einen von Null verschiedenen Wert annehmen; Mertens hingegen rechnete den Wert konkret so weit aus, dass man diesem ansah, dass er von Null verschieden ist.

Derartige Vereinfachungen durch Konkretisierung waren typisch für das mathematische Denken von Mertens. So berichtet Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) bereits 1869 im Vorwort seines Artikels über die nach ihm und Elwin Bruno Christoffel (1829-1900) benannte Formel zur konformen Abbildung: „Herr M e r t e n s, mit dem ich im Wintersemester 1863-64 die Vorlesungen des Herrn W e i e r s t r a s s über die Theorie der analytischen Functionen hörte, machte gelegentlich mir gegenüber die Bemerkung, es sei doch eigenthümlich, dass R i e m a n n von einer Function, welche z. B. die Fläche eines ebenen geradlinigen Dreiecks auf die Fläche eines Kreises conform abbildet, bereits die Existenz nachgewiesen habe, während die wirkliche Bestimmung einer solchen Function wegen der in den Ecken liegenden Unstetigkeiten der Begrenzungslinie die Kräfte der Analysis zur Zeit noch zu übersteigen scheine.“

Diese Haltung, unvoreingenommen zu fragen, wie sich eine Abstraktion in einer speziellen Situation konkretisiert, in der man die notwendige Aussage vielleicht besser „zu Fuß“ beweisen kann, hat Mertens bei einigen Mathematikern den Ruf eines Gegenspielers zur Abstraktion à la Emmy Noether, Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996) und Nicolas Bourbaki eingebracht. So wird er in dem Gedicht „Polynomials and power series, may they forever rule the world!“ von Shreeram Shankar Abhyankar (1930-2012) – unter anderem neben Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) und Kronecker – als einer derjenigen Heroen aufgeführt, deren Mathematik einen Schutz gegen die bourbakistischen Abstraktionen bilden sollte. Insbesondere hatte den Zorn Abhyankars hervorgerufen, dass van der Waerden in der vierten Auflage des zweiten Bandes seines Werks (Moderne) Algebra die Eliminationstheorie zu einer „Folge des Hilbertschen Nullstellensatzes“ degradiert hatte.

Mertens galt dabei als Protagonist der Eliminationstheorie aufgrund seiner bereits oben erwähnten, auf Deutsch und Polnisch publizierten grundlegenden und umfangreichen Arbeit „Zur Theorie der Elimination“ aus dem Jahre 1899 bzw. 1901. Allerdings vernachlässigt diese Sichtweise, dass van der Waerden selbst in seinem Artikel über die Quellen seines Werks diese Arbeit von Mertens wie folgt lobte: „remarkable paper, in which the existence of a system of resultants for homogeneous equations was proved for the first time.“

Auch im Rückblick betrieb Mertens teilweise Mathematik in zukunftsweisendster Art. So bewies er 1887 die Aussage des Hilbertschen Basissatzes in dem Spezialfall von Idealen in Polynomringen in zwei Variablen mit Koeffizienten aus einem Körper und von Kernen von Algebrenhomomorphismen mit Bild in solchen Polynomringen, ein Jahr, bevor David Hilbert (1862-1943) mit seinen Publikationen zum Allgemeinfall begann.

Auch sonst war es gerade nicht so, dass Mertens der mit Emmy Noether beginnenden und durch van der Waerdens Moderne Algebra an Bourbaki weitergeleiteten konzeptuellen, an der Zahlentheorie orientierten Mathematik negativ gegenüberstand, ganz im Gegenteil!

Zwar ist der Noethersche Ausspruch „Es steht alles schon bei Dedekind.“ bereits sprichwörtlich, sie hat aber nie persönlichen Kontakt mit Richard Dedekind (1831-1916) gehabt und schon gar nicht eine Vorlesung bei ihm gehört. Ebenso nahm sie zwar in ihren Arbeiten auf Hilbert Bezug, als sie jedoch in Göttingen war, im Wintersemester 1903/04 und ab dem Sommersemester 1915, interessierte sich dieser schon lange nicht mehr für Algebra und Zahlentheorie, sondern für Geometrie sowie Logik und Grundlagen der Mathematik bzw. für Analysis und Mathematische Physik.

In einem Lebenslauf anlässlich ihrer Habilitation im Juni 1919 bekundete Noether selbst, wem sie den Übergang weg von der formalen Invariantentheorie, dem Gebiet ihrer Dissertation und erster Folgearbeiten, zu verdanken hatte: „Vor allem bin ich Herrn E[rnst] Fischer zu Dank verpflichtet, der mir den entscheidenden Anstoß zu der Beschäftigung mit abstrakter Algebra in arithmetischer Auffassung gab, was für all meine späteren Arbeiten bestimmend blieb und für solche nicht rein algebraischer Natur.“

Ernst Fischer ist zumeist durch seine unabhängig von und praktisch zeitgleich mit Frigyes Riesz (1880-1956) gefundenen und publizierten Resultate aus der Funktionalanalysis bekannt, den Satz von Fischer-Riesz über die Vollständigkeit des Raumes der quadratintegrierbaren Funktionen und den Darstellungssatz von Fischer-Riesz über die Charakterisierung der Fourier-Koeffizienten solcher Funktionen. Er war (nach einem kurzen Zwischenspiel von Erhard Schmidt (1876-1959)) 1911 in Erlangen der (Nach-)Nachfolger von Noethers Doktorvater Paul Gordan (1837-1912) geworden und stand mit ihr nicht nur im Gespräch, sondern auch in einem intensiven Austausch per Postkarte, inbesondere während er im Ersten Weltkrieg Kriegsdienst leistete.

Untersucht man nun weiter, wie Fischer zu der abstrakten „Algebra in arithmetischer Auffassung“ gekommen war, insbesondere unter Berücksichtigung der Dedekindschen Sichtweise, so findet man in seinem Lebenslauf zwar Studienaufenthalte in Berlin und bei Hermann Minkowski (1864-1909) in Zürich und Göttingen. Sowohl Georg Frobenius (1849-1917) als Vertreter der Algebra in Berlin als auch Minkowski war nach deren eigener Bekundung der Dedekindsche Zugang zur Algebra aber zu abstrakt. Somit bleibt als Einflussfaktor auf Fischer nur die Ausbildung in Wien übrig, die er bei seinem Doktorvater Mertens erhalten hatte, unter dessen Anleitung er 1899 mit einer Dissertation „Zur Theorie der Determinanten“ promoviert worden war.

Und es gab sogar ein direktes Treffen von Mertens und Noether: Auf der Versammlung der deutschen Naturforscher und Ärzte in Wien im Jahr 1913 trug Noether am 29. September über die ersten Resultate ihres neuen Zugangs zur Algebra vor. Diese Gelegenheit nutzte sie, um Mertens zu besuchen. Dabei handelte es sich offensichtlich nicht um den Höflichkeitsbesuch der Tochter des Ordinarius Max Noether (1844-1921) bei dessen sogar etwas älteren Kollegen. Mertens selbst erklärte seinem Enkel auf dessen Frage hin, wer ihn denn besucht hätte, „das wäre eine Mathematikerin, eine Gelehrte, gewesen, die sich mit ihm fachlich unterhalten hätte.“ (Man beachte die Wahl des Subjekts in dem Relativsatz!)

Franz Mertens war seit 1872 ordentliches, seit 1885 auswärtiges Mitglied der Krakauer Akademie der Wissenschaften, seit 1892 korrespondierendes, seit 1894 wirkliches Mitglied der Österreichischen Akademie der Wissenschaften, korrespondierendes Mitglied der Königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften, korrespondierendes Mitglied der Göttinger Gelehrten Gesellschaft und seit 1900 korrespondierendes Mitglied der Königlich-Preußischen Akademie der Wissenschaften. Zudem war er Hofrat sowie Komtur des Franz Josefs-Ordens.

Seit Wintersemester 2017/18 verleiht die Fakultät für Mathematik und Informatik der Jagiellonen-Universität in Krakau jährlich Franciszek Mertens-Stipendien für auswärtige Studierende.